Mọi người hay hỏi tôi “Bí quyết giải toán như thế nào, phương pháp giải toán như thế nào?”. Từ xưa đến nay tôi đều không có câu trả lời, vì tôi nghĩ là toán không có bí quyết, không có phương pháp, mỗi người thì cứ chăm chỉ học hành là được. Thế nhưng thực ra như vậy thì cũng không đúng hẳn, vì phương pháp là có, nhưng để phát biểu một cách rành rọt phương pháp của mình là như thế nào thì hoàn toàn không dễ, không dễ một chút nào. Thì để làm cái việc đó, tôi đọc một quyển sách rất là kinh điển của ông George Pólya viết từ năm 1944, tức là đã 70 năm rồi. Quyển sách đó tên là “How to solve it”.

Quyển sách này đã được dịch ra tiếng Việt từ rất lâu. Tôi nhớ hồi bé tôi đã đọc bản dịch cuốn sách này với tên là “Giải một bài toán như thế nào” do Nhà xuất bản Giáo dục phát hành và đã in lại rất nhiều lần. Theo tôi hiểu thì tới nay vẫn đamg có nhiều giáo viên dạy toán vẫn đọc quyển sách này. Tôi nghĩ quyển sách này thực sự là bổ ích, đặc biệt là cho các giáo viên dạy toán. Có lẽ là các bạn học sinh đọc thì sẽ thấy hơi tẻ. Tôi nhớ khi còn là học sinh thì tôi đã đọc quyển sách này và thấy không thích lắm. Bởi vì nó hơi tẻ nhạt, nó không có gì đặc biệt lắm, không có gì làm mình ngạc nhiên cả, tất cả đều có vẻ như là hiển nhiên. Thế nhưng bây giờ khi đọc lại thì tôi thấy quyển sách này viết rất hay, tuy rằng có một số điểm thì tôi thấy cũng không hoàn chỉnh, tôi nghĩ là một số điểm có thể đào sâu hơn. Có lẽ việc này xuất phát từ chuyện mỗi người có một cách làm toán riêng, mỗi người lại phải đặc biệt đối chọi với những dạng toán khác nhau. Thế vì vậy hiển nhiên là ông Pólya trình bày quyển sách này thuần túy dựa theo kinh nghiệm làm toán riêng của ông ấy.

Những điều tôi định trình bày ở đây với các bạn sẽ dựa theo cái khung chính của ông Pólya. Dựa vào cái khung đó tôi sẽ trình bày cái quan điểm riêng của tôi, tôi sẽ cố gắng phát biểu những trải nghiệm của tôi trong quá trình làm toán, theo phong cách đơn sơ nhất, có thể chưa tuyệt đối chính xác, nhưng sẽ là điều tốt nhất tôi có thể làm được. Điều mà tôi hi vọng là mỗi người trong số các bạn có thể phát biểu và chia sẻ những kinh nghiệm làm toán của mình như thế nào, không nhất thiết phải cái gì trừu tượng lắm đâu, nên chia sẻ một cái kinh nghiệm nào đó, một bài toán mà các bạn đã từng phải lao tâm khổ tứ giải nó, có một cái kỉ niệm gì đó, có một trải nghiệm gì đấy, các bạn muốn chia sẻ con đường mà các bạn đã đi tìm lời giải bài toán đó như thế nào, thì tôi nghĩ những cái kinh nghiệm như vậy rất là đáng quý.

Quay lại quyển sách của nhà toán học Pólya. Quyển sách được viết tương đối đơn giản. Ngay ở phần đầu, Pólya đã chia quá trình làm toán thành bốn giai đoạn. Theo tôi nghĩ thì bốn giai đoạn này là hoàn toàn chính xác, và là chung đối với tất cả mọi người, không có ai khác cả. Bốn giai đoạn đó là:

Hiểu vấn đề.

Lên kế hoạch để giải quyết vấn đề.

Sau khi lên kế hoạch thì tất nhiên phải thực hiện kế hoạch.

Và cuối cùng, sau khi thực hiện kế hoạch và giải quyết xong vấn đề thì một việc cũng không kém phần quan trọng là nhìn lại vấn đề.

Khi nhìn thấy một sơ đồ như thế này thì có thể bạn sẽ hơi thất vọng, vì nó không có gì đặc biệt cả, tất nhiên ai cũng biết là khi giải toán thì đầu tiên phải hiểu vấn đề, trước khi làm gì thì cũng phải lên kế hoạch, rồi thực hiện kế hoạch đó, cuối cùng thì phải xem xét và tổng kết lại. Nhưng mà cái chính là, chúng ta sẽ phải tìm hiểu chính xác xem là trong từng giai đoạn một thì cụ thể ta phải làm những gì. Chẳng hạn, thế nào là “hiểu vấn đề”?

Thế nào là “hiểu vấn đề”? Có thể chúng ta cho rằng là đọc đầu bài, hiểu đầu bài, tìm ra phương trình cần giải, tìm ra mệnh đề cần chứng minh là ta hiểu vấn đề. Thế nhưng mà Pólya đã đưa ra một số quy tắc để làm sao có thể nói là chúng ta đã “thực sự hiểu vấn đề”. Các quy tắc của Pólya rất đơn giản, tôi sẽ lần lượt đề cập dưới đây.

Điều đầu tiên, trong một bài toán, bao giờ cũng có những tham số, vậy tham số trong bài toán đặt ra là gì? Và ẩn số, tức là điều cần tìm trong một bài toán nữa, đó là gì?

Câu hỏi thứ nhất là: tham số là gì?

Câu hỏi thứ hai là: ẩn số là gì?

Pólya phân loại các bài toán thành hai dạng: dạng thứ nhất là tìm ra đáp số, khi đó ta có tham số và ẩn số; dạng thứ hai là chứng minh, thì một cách tương đương, ta có giả thiết và kết luận. Thực sự nghe qua hai câu hỏi như thế này thì ta tưởng rằng là mọi việc vừa là hiển nhiên vừa không còn gì để nói nữa. Nhưng vấn đề thực ra không hiển nhiên như vậy.

Quy tắc tiếp theo mà Pólya đưa ra mà tôi thấy rất quan trọng, đó là:

Câu hỏi thứ ba: làm sao loại trừ hoàn toàn những gì không rõ ràng trong phát biểu bài toán?

Ở dưới đây tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ cụ thể để phân tích kĩ hơn thế nào là loại trừ những gì không rõ ràng. Loại trừ ở đây không đơn thuần là vì ta chỉ muốn cố làm cho bài toán rõ hơn, mà nhiều khi những sự không rõ ràng trong cách phát biểu ấy lại có thể chính là thứ thuộc về bản chất của bài toán mà ta không biết trước. Khi đó ta phải đưa ra được những “cấu trúc toán học” để theo một cách nào đó biến được những cái không rõ ràng, những cái mập mờ đó thành những cái tham số cụ thể. Đây sẽ là chìa khóa cơ bản để dẫn dắt chúng ta đến với việc giải quyết được nhiều bài toán khó.

Trước hết thử nghĩ về câu hỏi “tham số là gì”. Thế thì trong quyển sách của Pólya có đưa ra một ví dụ khá là thú vị, và cũng rất là đơn giản thôi. Bài toán như thế này:

Cho một hình hộp vuông (tất cả các cạnh đều vuông góc với nhau) với ba cạnh có độ dài lần lượt là 3,4,7. Câu hỏi là tìm độ dài đường chéo hình hộp.

Nói chung các bạn làm toán sẽ tìm ngay ra lời giải không khó khăn gì. Nhưng nếu như giả sử ta không giỏi toán lắm, thì ta sẽ suy nghĩ như thế nào? Thứ nhất, ta có thể “thấy” ngay rằng hiển nhiên các số 3,4,7 hoàn toàn không đóng vai trò gì cả. Ngay đầu tiên, bạn sẽ có “cảm giác” bài toán của ta không phụ thuộc vào các số 3,4,7, bạn có thể thay 3,4,7 bằng số nào cũng được. Nếu như các bạn tìm được lời giải với 3,4,7, thì bạn cũng tìm được lời giải với các số khác. Thế tức là ta phải “tham số hóa” bài toán, biến 3,4,7 thành các số a,b,c bất kỳ. Thế thì đấy là cái điểm thứ nhất. Sau đó, khi mà ta đã tham số hóa được 3,4,7, thì bước tiếp theo là ta tổng quát hóa bài toán lên, tức là phát biểu bài toán với các tham số a,b,c bất kỳ.

Khi đó ta nhận ra ngay một điều thú vị, tức là lời giải không phụ thuộc gì vào thứ tự của a,b,c. Nghĩa là khi tráo đổi thứ tự của a,b,c thì độ dài đường chéo hình hộp không đổi, nghĩa là lời giải của ta cũng phải không đổi, tức là lời giải (nếu có) phải có tính đối xứng.